graisser la patte à quelqu'un

L'expression est attestée en français dès le XVIe siècle. Le mot « patte » désignait familièrement la main en ancien français populaire. L'image est mécanique : on graisse un rouage ou une charnière récalcitrante pour qu'il fonctionne sans résistance, et la corruption est présentée comme un lubrifiant social. Glisser des pièces d'or dans la patte d'un gardien ou d'un fonctionnaire, c'est rendre sa résistance glissante et obtenir ce qu'on désire. La métaphore est si parlante qu'elle existe dans de nombreuses langues européennes sous des formes similaires.

En espagnol, on dit « untar la mano » (huiler la main), même image de lubrification. En anglais, on utilise « to grease someone's palm » (graisser la paume), exactement la même métaphore.