Partout, dans des endroits très divers, en parcourant de nombreux lieux différents.
« « Il a cherché ses clés par monts et par vaux avant de les retrouver dans sa poche. » »
Moyen Âge
L'opposition mont/val symbolise l'espace total : 'par monts et par vaux' désigne déjà le fait de parcourir partout
Aujourd'hui
Expression figée, légèrement littéraire, pour dire qu'on a cherché ou couru dans tous les endroits
Cette expression s’emploie partout en France.
aux alentours (dans les environs proches, sens géographiquement beaucoup plus limité)
Le 't' et le 's' de 'monts' sont muets : on dit /mɔ̃/. La liaison avec 'et' est facultative : on peut dire /mɔ̃z‿e paʁ vo/ ou simplement /mɔ̃ e paʁ vo/. 'Vaux' se prononce /vo/, comme dans 'eau'.